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Fourier Transform(푸리에 변환)의 이해와 활용
python으로 신호 푸리에 변환하는 방법
Fourier transform 근사와 신호분석
형보다 나은 아우: 푸리에 변환(Fourier Transform)
autocorrelation function
PWDFT, reciprocal lattice
1D PWDFT 만들기
- hydrogen orbital 구성 ✓
- DFT (or FFT)
- n(r) 구하기.
##Plane-Wave Basis Sets
Introduction to DFT and the plane-wave pseudopotential method
\(\psi_{i, \boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})=\sum_{\boldsymbol{G}}^{|\boldsymbol{G}|<G_{\max }} c_{i \boldsymbol{k}, \boldsymbol{G}} e^{i(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{G}) \cdot \boldsymbol{r})}\)
Fourier Series expansion of (r): Fourier coefficients cik,G stored on regular grid of G.
Gs are reciprocal lattice vectors and k is a symmetry label in the 1st Brillouin zone.
Bloch’s Theorem
\(\phi_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})=\exp (i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}) u_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})\)
실제계산에서는 k-space에서의 적분을 discrete Fourier transfrom 하게 된다. 따라서 planewave를 DFT를 하면 coefficient인 uk(r)을 저장함.
Charge density는 uk(r)을 Brillouin zone (BZ)에 대해 아래와 같이 표현할 수 있음.
\(n(\boldsymbol{r})=\sum_{m} \int_{\mathrm{BZ}} d \boldsymbol{k} \quad u_{m \boldsymbol{k}}^{*}(\boldsymbol{r}) u_{m \boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})\)
여기서 m은 dimemsion을 나타내는데, real-space lattice vector R과 reciprocal lattice vector G는 G·R=2πm의 관계를 가지고, 여기서 m은 정수이다.
주의: Charge density를 얻으려면 여기서 inverse DFT가 아니라 square 곱을 해줘야 함. 역시 적분을 해야하는데, 이때도 grid에서의 sum을 해준다.
\(\sum_{k}^{\mathrm{BZ}}\)
실제 계산에서는 cmkG 과 n(r)을 둘다 3D grid에 저장하고, FFT를 통해서 real-space와 reciprocal-space를 mapping 함.예를 들어, n(r)은 다음과 같이 구하는데,
\(n(\boldsymbol{r})=\sum_{\boldsymbol{k}} \sum_{m}^{\mathrm{occ}}\left|u_{m \boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})\right|^{2}\)
where
\(u_{m \boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})=\sum_{\boldsymbol{G}} c_{m \boldsymbol{k}}(\boldsymbol{G}) \exp (i \boldsymbol{G} \cdot \boldsymbol{r})\)
이러한 mapping은 umk(G)를 real-spalce로 transformation 시키기 위해 each band와 k-point 당 한번씩 FFT를 하게 된다.
Hartree, local, potential terms을 계산하기 위해 우리는
\(n(\boldsymbol{G})=\sum_{r} n(\boldsymbol{r}) \exp (-i \boldsymbol{G} \cdot \boldsymbol{r})\)
이 필요하다.
plane-wave coefficients cmk(G)로 표현된 total KS energy는
\(\begin{aligned} E_{\mathrm{KS}} &=\sum_{\boldsymbol{k}} \sum_{m} \sum_{\boldsymbol{G}}|\boldsymbol{G}+\boldsymbol{k}|^{2}\left|c_{m \boldsymbol{k}}(\boldsymbol{G})\right|^{2}+\sum_{G \neq 0} V_{\mathrm{ext}}(\boldsymbol{G}) n(\boldsymbol{G}) \\ &+\sum_{G \neq 0} \frac{|n(\boldsymbol{G})|^{2}}{|\boldsymbol{G}|^{2}}+\int d \boldsymbol{r} n(\boldsymbol{r}) \varepsilon_{\mathrm{xc}}(n(\boldsymbol{r}))+E_{\mathrm{II}}\left(\left\{\boldsymbol{R}_{I}\right\}\right) \end{aligned}\)
애초에 planewave가 grid의 형태로 표현될텐데, 처음에 grid는 어떻게 설정?
discrete planewave -> DFT (or FFT) -> uk(r) -> BZ integration (Monkhorst-Pack) -> n(r)
우리가 cutoff energy를 정하게 되면, 아래 식에 의해 Gmax을 정하게 된다.
\(E_{c}=\frac{\hbar^{2} G_{\max }^{2}}{2 m_{e}}\)
결국 reciprocal lattice에서 어느정도의 범위를 계산에 넣을 것인지 (2D에서는 원, 3D에서는 구) 한계를 두게 되는데, FFT할 때 이것의 두배 정도 되는 grid를 고려(2kcut)한다.
Hohenberg-Kohn Functional in Momentum Space:
The Plane-Wave Pseudopotential Method